Ich sitze gerade über meinen Übungsaufgaben zur Analysis und grüble über eine Sache nach, die mir letztens in der Vorlesung begegnet ist. Der Professor hat fast beiläufig erwähnt, dass die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt nicht automatisch bedeutet, dass sie dort auch differenzierbar ist. Das hat mich irgendwie aus dem Konzept gebracht, weil ich dachte, das eine folge aus dem anderen. Jetzt versuche ich, mir ein klares Bild davon zu machen, wie so eine Funktion denn überhaupt aussehen könnte. Mir fällt es schwer, mir das geometrisch vorzustellen, außerhalb dieser bekannten Ecken und Spitzen. Gibt es noch andere, vielleicht weniger offensichtliche Fälle, wo dieser Knick im Denken passiert?
Stetigkeit klingt nach Ruhe im Graphen, als würde der Funktionswert sich brav von Punkt zu Punkt bewegen. Differenzierbarkeit fühlt sich wie ein kleines Handwerk an das aus einer lokalen Geraden eine Richtung ableitet. Die beiden Konzepte hängen zusammen ja aber nicht wie zwei identische Zwillinge
Ein bekanntes Beispiel ist die Betragsfunktion. Sie ist stetig an der Nullstelle doch dort existiert keine Ableitung. Am Graphen sieht man eine Ecke die den Knick markiert und daran erkennt man dass Stetigkeit nicht automatisch Differenzierbarkeit bedeutet.
Ich dachte eigentlich dass Stetigkeit immer eine glatte Tangente bedeutet so wie die Kurve sich sanft weiter schiebt vielleicht sogar eine eindeutige Richtung. Das stimmt aber nicht und zeigt wie leicht man in eine falsche Vorstellung rutscht.
Ich frage mich wieso so viel Wert auf Differenzierbarkeit gelegt wird wenn man auch Modelle mit Knicken akzeptieren könnte. Vielleicht ist die Glätte nur eine bevorzugte Darstellung in bestimmten Kontexten und das Universum braucht sie nicht.
Vielleicht lohnt es sich die Frage neu zu rahmen statt zuzustimmen. Vielleicht geht es eher darum wie sich die Funktion in einer bestimmten Struktur verhält statt nur an einem Punkt zu schauen. Die Idee der Gleichmäßigkeit könnte hier eine andere Bedeutung bekommen.
Eine Idee die man sich merken kann kommt von einer Funktion die überall stetig ist aber nirgendwo differenzierbar und damit zeigt wie stark der Eindruck von Stetigkeit sein kann ohne Differenzierbarkeit zu garantieren.
