Ich sitze gerade über meinen Analysis-Aufgaben und komme einfach nicht weiter. Eigentlich dachte ich, ich hätte das mit den Grenzwerten verstanden, aber jetzt bei der konkreten Anwendung auf stückweise definierte Funktionen stehe ich völlig auf dem Schlauch. Mir fehlt irgendwie das Gefühl dafür, wie ich den Grenzwert einer Funktion bestimmen soll, wenn sie sich von links und rechts anders verhält. Das frustriert mich, weil ich das Gefühl habe, ein grundlegendes Konzept nicht richtig zu packen.
Du bist nicht allein mit dem Grenzwert bei stückweise definierten Funktionen. Wenn links und rechts unterschiedlich reagieren musst du zuerst beide Grenzwerte getrennt bestimmen und schauen ob sie denselben Wert liefern. Der Grenzwert existiert nur dann und dieser Wert gilt für die Grenzbetrachtung der Funktion selbst, der Funktionswert an der Stelle spielt keine Rolle.
Ein einfaches Beispiel hilft beim Verständnis. Stell dir eine stückweise definierte Funktion vor links ist f von x gleich x mal x wenn x kleiner als Null und rechts ist f von x gleich zwei mal x minus eins wenn x größer oder gleich Null ist. Dann ist der linke Grenzwert Null und der rechte Grenzwert minus eins und der Grenzwert existiert nicht.
Vielleicht denke ich zu naiv dass der Grenzwert immer existieren muss sobald die Funktion dort definiert ist. In Wirklichkeit kann der Grenzwert fehlen obwohl die Werte vorhanden sind. Das eine schließt das andere nicht aus.
Manchmal beschleicht mich der Gedanke dass solche Grenzwertregeln eher formale Hürde sind als echte Einsicht. Trotzdem ist da eine Spur von Logik, weil der Grenzwert genau das Verhalten von links und rechts nahe der Stelle erfasst.
Vielleicht hilft es den Grenzwert neu zu fassen als Frage danach wie sich die Umgebung der Stelle verhält statt als Urteil über die Stelle selbst. Man schaut auf das Verhalten der Nachbarschaft und fragt ob links und rechts auf einen gemeinsamen Wert zulaufen.
